Keywords

• Portfolio optimization
• Risk constraints
• Dynamic risk measures
• Stochastic optimal control
• Markov decision problems

Project description

Portfolio optimization is one of the central tasks of modern financial mathematics. The goal of portfolio optimization is to invest an investor's available capital optimally in securities on the financial market. Furthermore, the investor has the option of consuming parts of his assets. The portfolio problem for an investor is then to determine an optimal investment and consumption strategy.

Since the last financial crisis and the accompanying collapse of large financial institutions, there has been great interest in quantifying and limiting the risk of losing parts of the invested assets. In practice, the risk measure “value at risk” has become the standard risk measure for financial risks. However, the use of value at risk is not entirely uncontroversial, as the calculation only takes into account the probability of a loss, but not its amount. For this reason, various alternative risk measures are considered in addition to value at risk, such as tail conditional expectation and expected loss, as well as coherent and convex risk measures.

A natural extension is the consideration of dynamic risk measures. A dynamic risk measure quantifies the risk of loss of an investment strategy at any given point in time, taking into account the information available up to that point.  To determine the risk measures, the usual assumption is that the proportion invested in securities and the consumption rate are kept constant over a given time horizon (e.g., a day or a week). For the classic (time-continuous) portfolio optimization problem, this assumption is typically not fulfilled. An investor acting according to the optimal strategy will continuously adjust the proportion invested in securities and the consumption rate. Accordingly, the risk measure is only determined approximately. For this reason, we alternatively consider an investor who can only adjust his portfolio proportions and consumption rate at discrete points in time. For this time-discrete investor, the risk measures can be determined explicitly.

To solve the portfolio problems, these are formulated as stochastic control problems and solved using dynamic programming methods. In the continuous-time case, the Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) equation associated with the control problem is examined for the value function of the problem. The pointwise optimization problem that arises in this equation and contains the risk constraint is solved using the Lagrange multiplier method. A policy improvement algorithm and numerical methods for solving partial differential equations are used to determine the optimal investment strategies.

 In the discrete-time case, the theory of Markov decision problems is used to solve the portfolio optimization problem. These lead to a recursive method for determining the value function and the optimal investment strategy.

Finally, solving the control problems allows the quantification of the loss in portfolio performance resulting from the limitation of the risk of loss as well as the loss resulting from the limitation to time-discrete investment strategies.

Project-related publications

I. Redeker, R. Wunderlich: Portfolio optimization under dynamic risk constraints: Continuous vs. discrete time trading. Statistics & Risk Modeling, 2017 Preprint

Stichwörter

• Portfoliooptimierung
• Risikonebenbedingungen
• Dynamische Riskomaße
• Stochastische Optimale Steuerung
• Markovsche Entscheidungsprobleme

Projektbeschreibung

Die Portfolio-Optimierung zählt zu den zentralen Aufgaben der modernen Finanzmathematik. Das Ziel der Portfolio-Optimierung ist es, das zur Verfügung stehende Kapital eines Investors optimal in die Wertpapiere des Finanzmarktes zu investieren. Weiterhin besitzt der Investor die Möglichkeit Teile seines Vermögens zu konsumieren. Das Portfolio-Problem eines Investors ist dann, eine optimale Investment- und Konsumtionsstrategie zu bestimmen.

Seit der letzten Finanzkrise und dem damit einhergehenden Zusammenbruch großer Finanzinstitutionen besteht ein großes Interesse daran das Risiko,  Teile des investierten Vermögens zu verlieren, quantitativ erfassbar zu machen und zu beschränken. In der Praxis hat sich das Risikomaß Value at Risk zum Standardrisikomaß für finanzielle Risiken etabliert. Die Verwendung des Value at Risk ist jedoch nicht ganz unumstritten, so geht in die Berechnung lediglich die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes ein, nicht aber dessen Höhe. Aus diesem Grund werden neben dem Value at Risk verschiedene alternative Risikomaße betrachtet, wie z.B. Tail Conditional Expectation und Expected Loss sowie kohärente und konvexe Risikomaße.

Eine natürliche Erweiterung besteht in der Betrachtung dynamischer Risikomaße. Ein dynamisches Risikomaß quantifiziert zu jedem Zeitpunkt das Verlustrisiko einer Anlagestrategie, unter Berücksichtigung der bis zu diesem Zeitpunkt vorliegenden Information.  Zur Bestimmung der Risikomaße ist die übliche Annahme, dass der in die Wertpapiere investierte Anteil und die Konsumtionsrate über einen gegebenen Zeithorizont (z.B. einen  Tag oder eine Woche) konstant gehalten werden. Für das klassische (zeitstetige) Portfolio-Optimierungsproblem ist diese Annahme typischerweise nicht erfüllt. Ein Investor, der nach der optimalen Strategie handelt, wird kontinuierlich den in die Wertpapiere investierten Anteil und die Konsumtionsrate anpassen. Demnach wird das Risikomaß lediglich approximativ bestimmt. Aus diesem Grund betrachten wir alternativ einen Investor, der nur zu diskreten Zeitpunkten seine Portfolio-Anteile und seine Konsumtionsrate einstellen kann. Für diesen zeitdiskreten Investor können die Risikomaße explizit bestimmt werden.

Zur Lösung der Portfolio-Probleme  werden diese als  stochastische Kontrollprobleme formuliert und mit Methoden des Dynamic Programming gelöst. Im zeitstetigen Fall wird hierfür die dem Kontrollproblem zugeordnete Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) Gleichung für die Wertfunktion des Problems untersucht. Das darin auftretende und die Risikonebenbedingung enthaltende  punktweise Optimierungsproblem wird mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren gelöst. Zur Bestimmung der optimalen Anlagestrategien kommen ein Policy-Improvement Algorithmus und numerische Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen zum Einsatz.
 Im zeitdiskreten Fall wird zur Lösung des Portfolio-Optimierungsproblems die Theorie der Markovschen Entscheidungsprobleme herangezogen. Diese führen auf eine rekursive Methode zur Bestimmung der Wertfunktion und der optimalen Anlagestrategie.

Die Lösung der Kontrollprobleme erlaubt schließlich die  Quantifizierung des Verlustes der Portfolio-Performance infolge der Beschränkung des Verlustrisikos als auch des Verlustes durch die Beschränkung auf zeitdiskrete Anlagestrategien.

Projektbezogene Publikationen

1. I. Redeker, R. Wunderlich: Portfolio optimization under dynamic risk constraints: Continuous vs. discrete time trading. Statistics & Risk Modeling, 2017 Preprint