Marvin Kahra schrieb 2020 die beste Masterarbeit der Fakultät 1

Der Begriff des Maximumprinzips stellt eine spezielle Eigenschaft von Lösungen gewisser Differentialgleichungen dar. Dabei handelt es sich grundsätzlich um die Eigenschaft, dass das (globale) Maximum am Rand des Definitionsbereiches der Abbildung, welche das Maximumprinzip erfüllt, angenommen wird. Die größte Anwendung findet das Maximumprinzip bei der Eindeutigkeit und Stabilität der Lösungen von Dirichlet-Problemen.

In dieser Arbeit beschreite ich den von S. Hildebrandt inspirierten Weg von E. Giusti zur Abschätzung von Jacobi-Feldern mittels geometrischer Grundannahmen bezüglich zweidimensionaler Riemann’scher Mannigfaltigkeiten und deren Metrik. Dadurch erhalte ich eine Beschränkung der Riemann’schen Metrik für beliebige zweidimensionale Vektoren. Diese Abschätzungen nutze ich um die direkte Variationsmethode von Hildebrandt, Kaul und Widman auf den Fall einer Kreissscheibe in einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit anzuwenden. Dabei zeige ich eine schwache Existenzaussage bzgl. des Minimierungsproblems des Energiefunktionals, welche ohne weitere Regularitätsannahmen auskommt. Diese werden ich mittels der ersten Variation des Energiefunktionals und des Stampacchia’schen Maximumprinzips von Hildebrandt und Widman auf schwachharmonische Abbildungen mit vorgeschriebenen Randwerten ausweiten. Zudem leite ich mit Methoden zur Abschätzung von Jacobi-Feldern von Klingenberg eine Abschätzung der Hesse-Matrix der Abstandsfunktion her, mit welcher ich nachweise, dass die dafür aufgestellte Vergleichsfunktion einem schwachen Maximumprinzip genügt und somit das Maximumprinzip von Jäger und Kaul erhalte. Schließlich widme ich mich dem Maximumprinzip der konvexen Hülle und der Eineindeutigkeit der Dirichlet-Lösung. Dies soll als eine alternative Herangehensweise zum Maximumprinzip von Jäger und Kaul verstanden werden, umso die Aussagen im Sinne eines C^2+α-Diffeomorphismus zu erweitern.