Fakultät 1: Universitätspreis für die beste Masterarbeit 2021

Ganzzahlige Optimalsteuerungsprobleme haben eine Vielzahl an Anwendungen, beispielsweise in der Formoptimierung, im Energiemanagement von Gebäuden oder in Netzwerk-Transport Problemen. Ziel ist es, ein System so zu steuern, dass eine bestimmte Größe minimiert oder maximiert wird, wie etwa dessen Energieverbrauch. Oft ist es aber auch von Interesse, gewisse qualitative Eigenschaften für die Steuerungsfunktion selbst zu erhalten. In diesem Sinne wurde in der Arbeit die Totalvariation genauer untersucht, welche ein Maß dafür darstellt, wie stark eine Funktion variiert, also grob gesprochen etwas über deren Änderungsverhalten aussagt. Eine Bestrafung starker Variationen in der Steuerung soll zu Lösungen führen, die in der Praxis einfacher zu realisieren sind. Ein solches Vorgehen hat aber auch weitere Vorteile und Anwendungsmöglichkeiten in der mathematischen Modellierung, beispielsweise kann für viele Probleme die Existenz einer Optimallösung garantiert werden, wenn man die Totalvariation als Regularisierungsterm verwendet.

Die Masterarbeit untersucht eine allgemeine Problemklasse an solchen Optimierungsproblemen. Neben dem Nachweis der Existenz einer Lösung wurde die Zielfunktion auf Differenzierbarkeit untersucht und die Erkenntnisse genutzt, um einen Lösungsalgorithmus, basierend auf dem Proximalgradientenverfahren sowie dem Bellmanschen Optimalitätsprinzip, zu konstruieren. Nach dem Nachweis einiger Konvergenzeigenschaften für vom Algorithmus konstruierte Folgen wurde dieser an zwei Probleminstanzen getestet. Nur für ein Problem konnten zufriedenstellende Lösungen berechnet werden. Allerdings ist es möglich, die Ideen des Verfahrens auf andere, vielversprechende Algorithmen zu übertragen.