Mathematische Darstellungen des dispersen Subsystems können in mikroskopische, mesoskopische oder makroskopische Modellierungsansätze unterteilt werden:

• Mikroskopische Modelle erfassen physikalische Prozesse bis hin zur Partikelebene. Solche Ansätze sind zweifellos mit dem höchsten Detaillierungsgrad verbunden, erfordern allerdings Rechenkapazitäten, die möglicherweise für viele physikalische Anwendungen zu hoch sind.
• Mesoskopische Modelle zielen auf eine statistische Darstellung der lokalen Population ab. Diese ist in Form einer Anzahldichtefunktion (number density function, NDF) gegeben, deren Entwicklung durch eine sogenannte Populationsbilanzgleichung (population balance equation, PBE) beschrieben wird.
• Makroskopische Modelle sind oft vorteilhaft und effizienter, da die Zielgrößen numerischer Simulationen in vielen Fällen makroskopische Größen wie Konzentration, Masse, Impuls oder kinetische Energie sind.

Unsere Forschung konzentriert sich primär auf einen bestimmten makroskopischen Modellierungsansatz, die quadraturbasierten Momentenmethoden (quadrature-based moment methods, QBMM).

Im Rahmen unserer Forschungsaktivitäten haben wir die Momententransportgleichungen für eine modifizierte Version des weitverbreiteten Reitz-Diwakar-Modells für Tropfenzerfall [4] formuliert  und zur Schließung die QMOM angewendet. Abb. 2 zeigt den Vergleich mit hochaufgelösten Monte-Carlo-Simulationen der PBE in Bezug auf die totale Tropfenanzahlkonzentration \(m_0\) sowie den mittleren Sauterdurchmesser \(m_3/m_2\) . Durch die Anwendung der QMOM mit mehr als zwei Quadraturknoten kann eine hohe Genauigkeit mit nur einem Bruchteil der Rechenkosten erreicht werden.

In Kooperation mit der Arbeitsgruppe Geophysical Fluid Dynamics der FU Berlin erforschen wir die theoretischen Rahmenbedingungen der Shockless Explosion Combustion (SEC), welches ein völlig neues Betriebskonzept für Gasturbinen darstellt. Wesentliche Grundlage einer SEC stellt dabei die kontrollierte homogene Selbstzündung des Treibstoffes dar, wodurch eine dynamische Annäherung an eine energetisch günstigere Gleichraumverbrennung (constant volume combustion, CVC) erreicht werden soll. [2] Die numerische Untersuchung der hier auftretenden Strömungen erfolgt auf sehr kleinen Zeit- und Längenskalen, was auch einen erheblichen Aufwand für den numerischen Strömungslöser (Computational Fluid Dynamics, CFD) erfordert. Daher entwickeln wir einen eigenen CFD-Löser und legen dabei besonderes Augenmerk auf effiziente numerische Methoden und Parallelisierung der Simulationen. Im Folgenden geben wir einen groben Überblick über die von uns verwendeten numerischen Methoden und konzentrieren uns insbesondere auf Methoden zur adaptiven Gitterverfeinerung (adaptive mesh refinement, AMR).

Abbildung 1 a) zeigt eine vereinfachte Skizze eines adaptiven kartesischen Gitters mit insgesamt drei Ebenen \((l=0,1,2)\), wobei das Rechengebiet auf jeder AMR-Ebene in eine Vielzahl von rechteckigen Gebieten zerlegt wird. Die fettgedruckten Linien stellen Gittergrenzen dar und alle Zellen jeder AMR-Ebene \(l_i\) werden mit einem Verfeinerungsverhältnis \(r\) im Vergleich zur Ebene \(l_{i-1}\) verfeinert. Für eine effiziente Zeitintegration auf adaptiven Gittern können wir den so genannten Subcycling-in-Time-Ansatz [5] verwenden, bei dem jede AMR-Ebene mit ihrer eigenen Zeitschrittweite \(\Delta t / r^l\) weiterentwickelt wird und eine Synchronisation stattfindet, wenn die Ebene \(l_i\) und \(l_{i-1}\) denselben Zeitpunkt erreicht haben. Dieser Ansatz ist in Abbildung 1 b) als Beispiel für drei Ebenen dargestellt. Bei diesem Ansatz treten zwei Probleme auf: (i) Die groben Daten der Ebene \(l_{i-1}\) sind nicht unbedingt gleich dem Durchschnitt der feineren Daten auf der Ebene \(l_i\). (ii) Aufgrund inkonsistenter Flüsse über die Grob-Fein-Grenzflächen wird die Erhaltung von Masse, Impuls oder Energie verletzt. Daher müssen wir in jedem Synchronisationsschritt (i) die Daten des Grobgitters mit gemittelten Daten des überlagernden Feingitters ersetzen und (ii) eine Flusskorrektur an den Grob-Fein-Grenzflächen vornehmen.

Hier präsentieren wir einige ausgewählte Ergebnisse von Simulationen zur Untersuchung der Beugung von Stoßwellen durch nicht ruhende Medien [4]. Für diese Simulationen betrachten wir ein eindimensionales Rohr, das von einem vorgegebenen Massenstrom durchströmt und in dem nach einer gewissen Zeit ein Stoß implementiert wird. An das Rohr schließt sich ein zweidimensionales Plenum an, in dem der Schock gebeugt wird. Hier beschränken wir die Simulationen auf zwei Dimensionen, keine Spezies und fügen einen zusätzlichen geometrischen Quellterm hinzu:
\begin{equation}
      \mathbf{S}(\mathbf{U}) = - \frac{1}{y} \begin{bmatrix}
          \rho v ,& \rho uv ,& \rho v^2 ,& v(\rho E+p)
      \end{bmatrix}^\text{T},
\end{equation}
der die zylindrische Symmetrie um die \(x\)-Achse berücksichtigt. Eine Skizze unseres Simulationsgebiets mit Randbedingungen (boundary conditions, BC's) ist in Abbildung 2 dargestellt, wobei die eingeschobene Abbildung Details des eingebetteten Plenums in dem strukturierten adaptiven Gitter mit insgesamt drei Ebenen zeigt.

Abbildung 3 zeigt die Konturen der dimensionslosen Geschwindigkeit zusammen mit dem adaptiven Gitter. Die anfänglichen Strömungsbedingungen sind \(M_0=2.62\) und \(M_b=0.38\) für die Schock-Machzahl bzw. die Hintergrund-Machzahl. Der Vergleich der beiden Abbildungen zeigt, dass das adaptive Gitter eine hohe Auflösung der hohen Gradienten und Diskontinuitäten ermöglicht. In beiden Abbildungen ist deutlich zu erkennen, dass nur die Bereiche des Gitters um die eingebetteten Ränder, die durch Kevin-Helmholtz-Instabilitäten gebildeten Wirbel in der Scherschicht des Hintergrundstrahls und die der Schockfront verfeinert wurden. Die anderen Bereiche der Strömung hingegen sind nur auf dem gröbsten Gitter abgebildet.