Allgemeine Informationen

DFG-Projekt
Laufzeit:        2021 bis 2024

Projektleitung

Prof. Dr. Armin Fügenschuh, Prof. Dr. Gerd Wachsmuth,  Prof. Dr. Ralf Wunderlich  

Projektbeschreibung

Der zeitliche und räumliche Verlauf einer großflächigen Epidemie oder Pandemie kann durch mathematische Modelle beschrieben werden. Diese teilen die Gesamtbevölkerung in verschiedene Gruppen: die Anzahl der noch nicht infizierten (für die Krankheit empfänglichen) Personen, der akut infizierten (und ansteckenden) Personen, sowie der Genesenen (mit oder ohne dauerhafter Immunität). Der Übergang einer Person von einer dieser Gruppen in eine andere wird mathematisch beschrieben, z.B. mittels Gleichungen oder Wahrscheinlichkeiten, die von Parametern abhängen, welche die Ansteckungsraten, Inkubationszeiten oder Mortalität der Krankheit und das Verhalten der Menschen erfassen.

Nimmt man den Verlauf der Epidemie nicht als gegeben hin, so bestehen zahlreiche Eingriffsmöglichkeiten, um die Parameter günstig zu beeinflussen. So können durch Ausgangsbeschränkungen die Kontakt- und Mobilitätsraten gesenkt werden. Durch den Transport von medizinischen Gütern zu Krankenhäusern in Ausbruchs-Schwerpunkten kann die Mortalitätsrate gesenkt werden. Derartige Maßnahmen sind mit finanziellen oder gesellschaftlichen Kosten verbunden. Ferner sind die zur Verfügung stehenden Kapazitäten für den Transport sowie die Liefermengen begrenzt. Gesucht ist ein System-Optimum, welches eine optimale Eindämmung der Epidemie durch einen Maßmahmenmix beschreibt, der aus Güterverteilungen und notwendigen Verhaltenseinschränkungen besteht.

Dieses Problem ist aus mathematischer Sicht sehr herausfordernd, da mehrere Teilgebiete interagieren: Die Dynamik der Epidemie wird über deterministische und stochastische Differentialgleichungen beschrieben. Dabei werden klassische SIR-Modelle maßgeblich erweitert, um unterschiedliche Regionen, Geschlechter, Altergruppen und Mobilitätsverhalten zu erfassen. Zusätzliche Erweiterungen der klassischen Modelle beziehen sich auf asymptomatische Krankheitsverläufe mit hohen Dunkelziffern an unerkannten Infektionsfällen und darauf abgestimmte Teststrategien. Die Daten sind daher mit Unsicherheit behaftet. Die Beeinflussung der Epidemie und die Güterverteilung wird über  Methoden der Optimalen Steuerung und des Operations Research (gemischt-ganzzahlige Optimierung) behandelt, wobei auch hier Unsicherheiten zu berücksichtigen sind und robuste Lösungen angestrebt werden.

Fachübergreifend werden drei Vertreter der jeweiligen mathematischen Teilgebiete zusammenarbeiten, moderne mathematische Verfahren einsetzen und weiterentwickeln, um gemeinsam diese Fragestellung zu modellieren und lösen zu können. Die Lösungsmethoden sollen in Form eines prototypischen Demonstrators implementiert werden. In dieses Planungswerkzeug soll ein Anwender nach Eingabe von Daten zur Beschreibung eines räumlichen Gebiets und charakteristischen Kennwerten einer Infektionskrankheit Vorschläge zu deren Eindämmung erhalten (z.B. Verteilung von medizinischen Gütern, lokale Lock-Down-Maßnahmen), die aus der Lösung der mathematischen Modelle abgeleitet wurden.

Summary

The temporal and spatial course of a large-scale epidemic or pandemic can be described using mathematical models. These divide the total population into different compartments: the number of people not yet infected (susceptible to the disease), acutely infected (and contagious) people, and those who have recovered (with or without permanent immunity). The transition of a person from one of these compartments to another is described mathematically, e.g. by means of equations or probabilities that depend on parameters measuring the infection rates, incubation times or mortality of the disease and people's behavior.

If one does not take the epidemic curve for granted, there are numerous possibilities for intervention in order to influence the parameters favorably. For example, exit restrictions can lower contact and mobility rates. Transporting medical supplies to hospitals in outbreak hotspots can lower the mortality rate. Such measures have financial or social costs. Furthermore, the available capacities for transport and the delivery quantities are limited. What is needed is a system optimum that describes an optimal containment of the epidemic through a mix of measures consisting of the distribution of goods and necessary behavioral restrictions.

This problem is very challenging from a mathematical point of view, since several research areas interact: The dynamics of the epidemic are described using deterministic and stochastic differential equations. Classic SIR models are significantly expanded to cover different regions, genders, age groups and mobility behavior. Additional extensions of the classic models relate to asymptomatic disease courses with a high number of unreported cases of undetected infections and test strategies tailored to them. The data are therefore fraught with uncertainty. The influencing of the epidemic and the distribution of goods are treated using methods of optimal control and operations research (mixed-integer optimization), whereby uncertainties must also be taken into account and robust solutions are sought.

In an interdisciplinary manner, three researchers from the respective mathematical fields will work together, use and further develop modern mathematical methods in order to be able to model and solve this problem together. The solution methods are to be implemented in the form of a prototype demonstrator. In this planning tool, after entering data to describe a spatial area and characteristic parameters of an infectious disease, a user should receive suggestions for containing it (e.g. distribution of medical goods, local lock-down measures), which were derived from the solution of the mathematical models.