Stichwörter

• Portfoliooptimierung
• Risikonebenbedingungen
• Dynamische Riskomaße
• Stochastische Optimale Steuerung
• Markovsche Entscheidungsprobleme

Projektbeschreibung

Die Portfolio-Optimierung zählt zu den zentralen Aufgaben der modernen Finanzmathematik. Das Ziel der Portfolio-Optimierung ist es, das zur Verfügung stehende Kapital eines Investors optimal in die Wertpapiere des Finanzmarktes zu investieren. Weiterhin besitzt der Investor die Möglichkeit Teile seines Vermögens zu konsumieren. Das Portfolio-Problem eines Investors ist dann, eine optimale Investment- und Konsumtionsstrategie zu bestimmen.

Seit der letzten Finanzkrise und dem damit einhergehenden Zusammenbruch großer Finanzinstitutionen besteht ein großes Interesse daran das Risiko,  Teile des investierten Vermögens zu verlieren, quantitativ erfassbar zu machen und zu beschränken. In der Praxis hat sich das Risikomaß Value at Risk zum Standardrisikomaß für finanzielle Risiken etabliert. Die Verwendung des Value at Risk ist jedoch nicht ganz unumstritten, so geht in die Berechnung lediglich die Wahrscheinlichkeit eines Verlustes ein, nicht aber dessen Höhe. Aus diesem Grund werden neben dem Value at Risk verschiedene alternative Risikomaße betrachtet, wie z.B. Tail Conditional Expectation und Expected Loss sowie kohärente und konvexe Risikomaße.

Eine natürliche Erweiterung besteht in der Betrachtung dynamischer Risikomaße. Ein dynamisches Risikomaß quantifiziert zu jedem Zeitpunkt das Verlustrisiko einer Anlagestrategie, unter Berücksichtigung der bis zu diesem Zeitpunkt vorliegenden Information.  Zur Bestimmung der Risikomaße ist die übliche Annahme, dass der in die Wertpapiere investierte Anteil und die Konsumtionsrate über einen gegebenen Zeithorizont (z.B. einen  Tag oder eine Woche) konstant gehalten werden. Für das klassische (zeitstetige) Portfolio-Optimierungsproblem ist diese Annahme typischerweise nicht erfüllt. Ein Investor, der nach der optimalen Strategie handelt, wird kontinuierlich den in die Wertpapiere investierten Anteil und die Konsumtionsrate anpassen. Demnach wird das Risikomaß lediglich approximativ bestimmt. Aus diesem Grund betrachten wir alternativ einen Investor, der nur zu diskreten Zeitpunkten seine Portfolio-Anteile und seine Konsumtionsrate einstellen kann. Für diesen zeitdiskreten Investor können die Risikomaße explizit bestimmt werden.

Zur Lösung der Portfolio-Probleme  werden diese als  stochastische Kontrollprobleme formuliert und mit Methoden des Dynamic Programming gelöst. Im zeitstetigen Fall wird hierfür die dem Kontrollproblem zugeordnete Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) Gleichung für die Wertfunktion des Problems untersucht. Das darin auftretende und die Risikonebenbedingung enthaltende  punktweise Optimierungsproblem wird mit Hilfe der Methode der Lagrange-Multiplikatoren gelöst. Zur Bestimmung der optimalen Anlagestrategien kommen ein Policy-Improvement Algorithmus und numerische Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen zum Einsatz.
 Im zeitdiskreten Fall wird zur Lösung des Portfolio-Optimierungsproblems die Theorie der Markovschen Entscheidungsprobleme herangezogen. Diese führen auf eine rekursive Methode zur Bestimmung der Wertfunktion und der optimalen Anlagestrategie.

Die Lösung der Kontrollprobleme erlaubt schließlich die  Quantifizierung des Verlustes der Portfolio-Performance infolge der Beschränkung des Verlustrisikos als auch des Verlustes durch die Beschränkung auf zeitdiskrete Anlagestrategien.

Projektbezogene Publikationen

1. I. Redeker, R. Wunderlich: Portfolio optimization under dynamic risk constraints: Continuous vs. discrete time trading. Statistics & Risk Modeling, 2017 Preprint