Algebraische Rechenmodelle

Lernziele

  • Kennenlernen und Verständnis von alternativen (zur Turingmaschine) Zugängen zu Berechenbarkeit und Komplexität.
  • Einblicke in die Bedeutung der Anwendung tiefliegender Methoden beim Entwurf und der Analyse von Algorithmen.

Inhalt

Eine Reihe algorithmischer Fragestellungen sind mit Hilfe des Modells der Turingmaschine nicht adäquat modellierbar. Dies gilt vor allem für Probleme, die überabzählbare Strukturen involvieren. Die Vorlesung behandelt algebraische Rechenmodelle, mit deren Hilfe Algorithmen über Strukturen wie den reellen und den komplexen Zahlen formuliert und untersucht werden können. Solche Algorithmen sind beispielsweise Gegenstand in der berechenbaren Geometrie, der Computeralgebra oder der numerischen Mathematik. Die Vorlesung gibt einen Einblick in algorithmische und methodische Fragen, die bei derartigen Modellen eine zentrale Rolle spielen.

Im Einzelnen werden folgende Themen behandelt:

  • Algebraische Schaltkreise, das Berechnungsmodell von Blum-Shub-Smale
  • Reelle Komplexitätsklassen: P, NP,
  • NP-Vollständigkeit über den reellen Zahlen
  • Nullstellenexistenz univariater Polynome: Satz von Sturm, Regel von Descartes
  • Systeme von Polynomgleichungen: Lösbarkeit über den reellen und den komplexen Zahlen
  • Sätze von Tarski, Lojasiewicz; zylindrische Dekomposition semi-algebraischer Mengen
  • Untere Schranken
  • Gröbnerbasen; Algorithmus von Buchberger
  • Diskrete Fouriertransformation

Zielgruppe

  • Informatik M.Sc. und Diplom PO 2008
    IMT M.Sc. PO 2008
  • Ang. Mathematik M.Sc PO 2008
    Komplex Mathematik-Spezialisierung (Profillinie Optimierung)
  • Mathematik Diplom
  • Wirtschaftsmathematik Diplom
  • Niveaustufe 400
  • Modul: 12458, 8 KP
    4 SWS VL, 2 SWS UE

Voraussetzungen

Solide Kenntnisse über die Grundlagen der Theoretischen Informatik.

Literatur

  • L. Blum, F. Cucker, M. Shub, S. Smale: Complexity and Real Computation, Springer, 1998
  • P. Bürgisser, M. Clausen, A. Shokrollahi: Algebraic Complexity Theory, Springer, 1997
  • D. E. Knuth: The Art of Computer Programming, Vol. 2: Seminumerical Algorithms, Addison Wesley, 1998
  • S. Basu, R. Pollack, M.F. Roy: Algorithms in Real Algebraic Geometry, Springer, 2nd Edition, 2006

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