In vielen Anwendungen werden stetige Prozesse durch diskrete Entscheidungen beeinflusst, wie das Umlegen eines Schalters, das Einlegen eines Ganges oder der Wechsel zwischen den Temperaturstufen einer Heizung. Für solche diskrete (also ganzzahlige) Steuerungen sind allerdings klassische Resultate der Optimalsteuerungstheorie wie das Pontryaginsche Maximumsprinzip nicht mehr anwendbar. Zudem sind schon grundlegende Eigenschaften solcher Probleme wie die Existenz einer Lösung nicht mehr selbstverständlich, oft existiert eine Lösung nur im Grenzfall unendlich vieler Schaltungen. Ein Ausweg bietet eine Regularisierung des Problems durch das Totalvariationsfunktional (TV-Funktional), welches in der Zielfunktion das Schalten, also das Wechseln des Werts der ganzzahligen Steuerung, bestraft.

Wir beschäftigen uns mit den Eigenschaften und Lösungsmethoden solcher gemischt-ganzzahliger Optimalsteuerungsprobleme mit TV-Regularisierung. Mit dynamischer Programmierung kann man effiziente Löser konstruieren, die über ein Trust-Region Verfahren lokale Minimierer finden können. Das Video auf der rechten Seite zeigt beispielhaft zwei solche Lösungen, bei denen ein Raum von 10°C auf 20°C durch zwei Heizungen am linken und rechten Rand erhitzt wird. Die Heizungen haben die Heizstufen 0-5, welche als Steuerung berechnet werden. Über den Rand des Gebiets fließt konstant Wärme in die Umgebung mit Umgebungstemperatur 0°C ab. Die Lösungen unterscheiden sich im Parameter, der die TV-Regularisierung gewichtet - ein kleinerer Parameter führt zu mehr Schaltungen und lässt vermuten, wie Lösungen ohne TV-Regularisierung aussehen.