• Finanzierung: DFG-Projekt
• Laufzeit: 01.03.2026 - 28.02.2029
• Projektleitung: Dirk Lorenz, Christian Meyer und Gerd Wachsmuth
• Projektmitarbeiter: Nicolas Borchard

Projektbeschreibung

In der jüngsten Vergangenheit wurden Optimalsteuerprobleme und inverse Probleme im Raum der regulären Borelmaße intensiv erforscht. Der Grund für das gesteigerte Interesse an dieser Klasse an Optimierungsproblemen ist die spezielle Struktur der optimalen Lösungen, die unter generischen Annahmen in großen Teilen des Rechengebietes verschwinden, ein Effekt, der in der Fachwelt als „Sparsity“ bezeichnet wird und in vielen Anwendungen von großem Nutzen ist. In den allermeisten Fällen wird die Regularität der Lösung durch Addition der Radon-Norm im Zielfunktional sichergestellt. Die Radon-Norm allerdings zeichnet sich durch mangelnde Stetigkeit hinsichtlich der „natürlichen“ (schwach-*) Konvergenz im Raum der Maße aus, was sich wiederum negativ auf die approximative Lösung solcher Optimierungsprobleme auswirkt. Die wesentliche Idee des vorliegenden Projekts ist, die Radon-Norm durch den Wasserstein-Abstand zu einer vorgegebenen Schätzung der optimalen Lösung zu ersetzen. Dieser Abstand ist stetig hinsichtlich der schwach-* Konvergenz.

Im Rahmen des Projekts sollen Optimalsteuerprobleme und Inverse Probleme mit dem Wasserstein-Abstand als Regularisierungsterm zunächst theoretisch analysiert und verstanden werden. Auf Basis der theoretischen Ergebnisse werden dann drei unterschiedliche algorithmische Ansätze zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Wasserstein-Regularisierung entwickelt und analysiert. An dieser Stelle ist die Identifikation des Wasserstein-Abstands als Optimalwert eines optimalen Transportproblems von zentraler Bedeutung. Zwei der algorithmischen Konzepte beruhen auf unterschiedlichen Regularisierungsmethoden für optimale Transportprobleme, ein weiteres Konzept verwendet die spezielle Struktur des optimalen Transportplans bei streng konvexen Transportkosten. Mit Hilfe der entwickelten Algorithmen soll schlussendlich ein prototypisches Optimalsteuerproblem mit Wasserstein-Regularisierung und semilinearer elliptischer partieller Differentialgleichung als Nebenbedingung numerisch gelöst werden